第九册约数和倍数的意义
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增大字体一、教法建议
【抛砖引玉】
通过本单元的教学要使学生掌握整除、约数、倍数、质数、合数、质因数、公约数、最大公约数、公倍数、最小公倍数等概念；知道有关概念之间的联系和区别，能够有条理、有根据地进行思考；能使学生掌握能被2、5、3整除的数的特征；会分解质因数；会求最大公约数（两个数）和最小公倍数。
（一）教学整除的概念
因为整除这部分知识，学生在第八册教材中已接触过，因此在教学整除的概念时要注意抓住三点。
1.复习“整除”的意义。
例如：你能说出整除的含义吗？下面哪个算式的第一个数能被第二个数整除？
23÷7=3……2 6÷5=1.2
15÷3=5 24÷2=12
2.用定义的形式对“整除”加以概括，并用字母表示。
两个数相除，如果用字母表示，可以这样说：整数a除以整数b (b≠0)，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（也就可以说b能整除a）。
3.突出强调除数不有是0。
（二）教学约数和倍数的概念
约数和倍数的概念是本单元最基本的概念，教学时要抓住五点。
1.通过“整除”引出“约数”和“倍数”的概念后，加以概括。
例如：15÷3=5，15能被3整除，我们就说15是3的倍数，3是15的约数。
如果整数a能被整数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
2.要强调倍数和约数是一对密不可分的概念。它们是互相依存的关系。
3.要掌握求一个数的“约数”和“倍数”的方法，并掌握其各自的特征。
在掌握一个数的约数和倍数求法的基础上，重点说明其特征：
一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1最大的约数是它本身。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
可讨论一下为什么？
4.强调一个数既可以是另一个数的约数，又可以是其它数的倍数。
如：12既是60的约数，又是6的倍数。
5.要重点处理好0的问题。
根据约数和倍数的概念，0是任何自然数的倍数，任何自然数都是0的约数。但研究分解质因数、最大公约数、最小公倍数时，是把0除外的，所以要着重指出在后面研究的内容里不包括0，这样可以减少不必要的麻烦。
（三）教学能被2、5、3整除的数的特征主要把握以下四点
1.通过观察、引导，掌握能被2、5、3整除的数的特征。
2.能根据特征进行判断。
3.通过能被2整除的特征，引出奇数和偶数的概念。
能被2整除的数叫偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
4.深化知识，沟通知识之间的联系。
(1)在□中填上几符合要求。
5□，能被2整除又能被3整除。
1□0，能被2、3、5同时整除。
(2)能被9整除的数，能否一定被3整除？为什么？
（四）教学质数、合数、分解质因数要抓住四点
1.通过对每个数的约数的个数及特点进行分类，引出质数、合数的概念。
一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（也叫做素数）。
如：2、3、5、7、11都是质数。
一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。
如：4、6、8、9、10、12都是合数。
2.重点说明“
3.能利用质数与合数的概念，判断一个数是质数还是合数。
如：下面哪些数是质数？哪些数是合数？
19、21、43、67、2、89
4.掌握质因数、分解质因数的概念和分解质因数的方法。
(1)每个合数教可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。
如：60=2×2×3×5，2、2、3、5都是60的质因数。
(2)把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
(3)通常用短除法来分解质因数，这样比较简便。
把一个合数分解质因数，先用一个能整除这个合数的质数（通常从最小的开始）去除，得出的商如果是质数，就把除数和商写成相乘的形式；得出的商如果是合数，就照上面的方法继续除下去直到得出的商是质数为止，然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。
（五）教学公约数和最大公约数要抓住以下四个方面
1.公约数和最大公约数的概念
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
例如：1、2、4是8和12的公约数；4是8和12的最大公约数。
2.通过公约数的概念引出互质数的概念
公约数只有1的两个数，叫做互质数。
例如：5和7是互质数，7和9也是互质数。
3.求两个数最大公约数的方法
为了简便、通常写成下面的形式。
2 18 30 ……用公有的质因数2除
3 9 15 ……用公有的质因数3除
3 5 ……除到两个商是互质数为止
把所有的除数乘起来，得到18和30的最大公约数是2×3=6。
求两个数的最大公约数，一般先用这两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来。
在除的过程中，有时也可以用两个数的公约数去除。
4.求最大公约数的两种特殊情况
(1)如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。
(2)如果两个数是互质数，它们的最大公约数是1。
例如：7和21的最大公约数是7。
8和15的最大公约数是1。
对于能直接看出最大公约数的就不再用短除法来求了。
（六）教学公倍数和最小公倍数，要抓住以下四个方面
1.公倍数和最小公倍数的概念。
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
例如：12、24、36、……都是4和6的公倍数，12是4和6的最小公倍数。
2.求最小公倍数的方法。
通常我们用分解质因数的方法来求几个数的最小公倍数。为了简便，通常写成下面的形式：
(1)求18和30的最小公倍数。
2 18 30 ……用公有的质因数2除
3 9 15 ……用公有的质因数3除
3 5 ……除到两个商是互质数为止
把所有的除数和商连乘起来，得到18和30的最小公倍数是2×3×3×5=90。
求两个数的最小公倍数，先用这两个数公有的质因数连续去除（一般从最小的开始），一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数和最后的两个商连乘起来。
(2)求8、12和30的最小公倍数。
求三个数的最小公倍数，通常这样做：
2 8 12 30 ……用三个数公有的质因数2除
2 4 6 15 ……4和6还有质因数2，再用2除以这个数，把15移下来
3 2 3 15 ……3和15还有公有的质因数，再用3除这两个数，把2移下来
2 1 5 ……2、1和5每两个数都是互质数，除到这里为止
在讲求最小公倍数的方法时，重点讲明算理。
3.求两个数最小公倍数的特殊情况。
(1)如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍 数。
如：12和48的最小公倍数是48。
(2)如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
如：7和8的最小公倍数是56。
以后计算时，如果能直接看出最小公倍数是多少，可以不写出计算过程。
4.通过讨论，比较求两个数的最小公倍数与求三个数的最小公倍数的相同点和不同点；比较求最大公约数与求最小公倍数的相同点和不同点。
【指点迷津】
1.“整除”和“除尽”有什么联系和区别？
在整数除法里，a÷b=c，除得的商c如果是整数，而没有余数，我们就说，a能被b整除，或者说b能整除a。如：15÷3=5，我们说15能被3整除，或者说3能整除15。
在除法里，a÷b=c，数a、数b、以及商c不见得是整数，但没有余数，我们就说a能被b除尽，或者说b能够除尽a。例如，10÷4=2.5、1.5÷3=0.5、1.5÷0.3=5，都可以说被除数a能被除数b除尽。
从上面可以看出，整除是限定在整数除法里的，而“除尽”就不一定限于整数除法。我们还可以用集合图表示其关系：如果a能被b整除，a就一定能被b除尽；反之，a能被b除尽，a却不一定能被b整除。即整除可以说是除尽，但除尽不一定是整除，整除是除尽的一种特殊情况。
2.“约数”和“倍数”有什么关系？又有什么不同？
如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。如12÷3=4，我们就说12是3的倍数，3是12的约数。不能说12是倍数，3是约数。由此可见，倍数和约数是相互依存的。
为了说明它们的不同点，请看下表。
| 个数 | 最小 | 最大 |
一个数的约数 | 有限 | 是1 | 是本身 |
一个数的倍数 | 无限 | 是本身 | 没有 |
3.什么叫质因数？什么叫分解质因数？
把一个合数分解成若干质数连乘积的形式，每一个质数就是这个合数的质因数。如：12=2×2×3，2、3叫12的质因数。
分解质因数就是把一个合数写成若干质数连乘积的形式。如12=2×2×3。
4.“
能被2整除的数叫做偶数，因为“
最小的偶数是几？先要搞清范围，在自然数范围内，最小的偶数是2，到中学里学了负数就不存在最小的偶数了。
二、学海导航
【思维基础】
1.举例说明什么叫整除？
例如：20÷5=4，20能被5整除，或5能整除20。
整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a）。
2.什么是约数和倍数？它们之间有什么关系？
如果整数a能被整数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
举例：20÷5=4，20能被5整除，我们就说20是5的倍数，5是20的约数。
约数和倍数是互相依存的。
3.找出60的约数，4的倍数。
60的约数有：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60。
4的倍数有：4、8、12、16、20……
从上面可以看出：一个数约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
4.说说下面的数哪些能被2整除？哪些能被3整除？哪些能被5整除？各自的特征是什么？
21、54、65、204、280、58、83、114、75、320、87、155
能被2整除的数有：54、204、280、58、114、320。
能被3整除的数有：21、54、204、114、75、87。
能被5整除的数有：65、280、75、320、155。
由此可知：
个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。
一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。
个位上是0或者5的数，都能被5整除。
5.说出什么叫质数、什么叫合数并判断下面各数哪些是质数、哪些是合数。
3、27、41、6、11、19、69、57、97
一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（也叫做素数）。
一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。
质数有：3、41、11、19、97
合数有：27、6、69、57
6.把下面各数分解质因数，并说出分解质因数的方法。
12、15和20的最小公倍数是2×2×3×5=60。
求两个数的最小公倍数，先用这两个数公有的质因数连续去除（一般从最小的开始），一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数和最后的两个商连乘起来。
【学法指要】
1.三个连续自然数的乘积为什么一定是6的倍数？
思路分析：因为任意三个连续自然数里，至少有一个是2的倍数和一个是3的倍数，而2的倍数与3的倍数的乘积，就必然是6的倍数。
2.书架上有96本科技读物，如果不一次拿走，也不是一本一本地拿走，要求每次拿走的本数同样多，而且正好取光，问共有多少种拿法？
思路分析：通过读题，便可理解题目的意思，就是求96的约数的个数是多少，而题目告诉我们如果不一次拿走，也不是一本一本地拿走，实际是要我们把1和96这两个约数扣除才是要求的答案。
96的约数的个数：（5＋1）×（1＋1）=12（个）
扣除约数1和96，则约数的个数是：12－2=10（个）
答：共有10种拿法。
3.在1～100的自然数中，既没有约数2，又没有约数3，还没有约数5的数，共有多少个？
思路分析：在1～100的自然数中，把有约数2的数、有约数3的数、有约数5的数扣除，就是要求的答案的个数。
在1～100的自然数中，
有约数2的数有：100÷2=50（个）
有约数3的数有：100÷3=33（个）……1
有约数5的数有：100÷5=20（个）
有约数2、3的数有：100÷（2×3）=16（个）……4
有约数3、5的数有：100÷（3×5）=6（个）……10
有约数2、5的数有：100÷（2×5）=10（个）
有约数2、3、5的数有：100÷（2×3×5）=3（个）……10
解：在1～100的自然数中，既没有约数2，又没有约数3，还没有约数5的自然数共有：100－[(50＋33＋20)－(16＋10＋6)＋3]=26（个）
4.用0、2、4、5、7组成一个五位数，使这个数是除以5余4的最小的五位数。
思路分析：用0、2、4、5、7组成的五位数有很多，如24570、24507、24057、20457……满足最小五位数这个条件的最高位上的数字必须是最小 的那个数字，而这五个数字其中最小的那个数字是0，0在这五位数中不能排首位，所以只能把2排在最高位打头。题目的要求是最小的五位数，千位上的数字必须是0，百位上是5，十位上是7，个位上是4。那么为什么百位上不是4呢？因为题目的要求是除以5余4。所以百位上的数字不能是4，只能把4放在个位上。
解：用0、2、4、5、7组成的一个五位数，使这个数除以5余4，还须是最小的五位数，那只能是20574。
5.一个长方体的3个侧面积分别为s1=20平方厘米，s2=15平方厘米，s3=12平方厘米。求这个长方体的体积是多少？
思路分析：根据长方体6个面的特征，我们知道：每个长方体的6个面都是相对的两个面的面积相等。但是已知的3个面的面积都不相等，我们就可以推出：已知的3个面一定相交于一个顶点。这样，我们就可以画出这个长方体的图。
然后把已知条件都标在图上，假设这个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，s1=ab=20，s2=ac=15，s3=bc=12（如图所示）。求这个长方体的体积，必须知道这个长方体的长、宽、高各是多少。但是长、宽、高都没直接给出。不过，长、宽、高这三个数中，每两个数的乘积我们都知道，如果把每两个数的乘积再相乘，里面一定有三个数之积。我们仔细分析：ab×ac×bc，根据乘法的交换律和结合律，可以变换为(abc)×(abc)。如果我们能把3个侧面积的积，分成两个相同的数的乘积，问题就可以迎刃而解。abc就是长方形的体积。那么3个侧面积的乘积怎样分成两个相同的数相乘呢？把这几个相乘的数分解质因数。
解： 20×15×12
=2×2×5×3×5×3×2×2
=(2×2×3×5)×(2×2×3×5)
=60×60
∴abc=60
答：这个长方体的体积是60立方厘米。
【思维体操】
1.有甲、乙两数，它们的最大公约数是6，最小公倍数是72，求甲、乙二数。
解法一： 72=2×2×2×3×3
=2×2×(2×3)×3
=4×6×3
4×6=24
6×3=18
答：甲、乙二数分别是24和18。
解法二： 72÷6=12
12=2×2×3
因为，2与6(2×3=6)不是互质数，所以，只有4(2×2=4)与3才是互质数。
6×4=24
6×3=18
答：甲、乙二数分别是24和18。
评析：解法一把甲、乙二数的最小公倍数分解质因数，从这个质因数连乘式中找出它们的最大公约数，再组成一个连乘式。这个连乘式中除去有它们的最大公约数外，必须有两个互质数。用这两个互质数分别乘以它们的最大公约数，就可以求出这两个数。
解法二用甲、乙二数的最小公倍数除以它们的最大公约数，所得的商必是甲、乙二数取出最大公约数后，所剩下的两个互质数的积。因此，把所求得的商再分解因数，并搭配成两个互质数，最后用这两个互质数分别乘以它们的最大公约数，就可以求出这两个数了。这两种解法各有千秋，一般采取第一种解法的比较多。
2.从1＋2＋3＋……＋1991所得的和是奇数还是偶数？
解法一：求出它们的和是多少？
=1983036
所以它们的和是偶数。
解法二：从1到1991的数中，偶数有1990÷2=995（个），其和为偶数；有995＋1=996（个）奇数，其和为偶数。因为两个偶数的和一定是偶数。所以，1＋2＋3＋……＋1990＋1991的和是偶数。
评析：解法一是先确定其和是奇数还是偶数，根据求连续自然数和公式，求出它们的和，然后知道和是偶数。解法二是先确定从1到1991这1991个自然数中奇数的个数和偶数的个数，然后根据自然数中任意几个偶数的和还是偶数，单数个奇数的和仍为奇数，双数个奇数的和为偶数这一特征，来确定其和是奇数还是偶数。
这两种解法，第一种是采用计算的方法比较麻烦，我们提倡第二种方法，它是根据这一列数的特征，按奇、偶数排列，来找出答案的。
3.在1、2、4、6、12�