圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

第一课时 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（一）

　　教学目标：

　　（1）理解圆的旋转不变性，掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理推论及应用；

　　（2）培养学生实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力；

　　（3）通过教学内容向学生渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义教育，渗透圆的内在美（圆心角、弧、弦、弦心距之间关系），激发学生的求知欲．

　　教学重点、难点：

　　重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理的推论．

　　难点：从感性到理性的认识，发现、归纳能力的培养．

　　教学活动设计

　　教学内容设计

　　（一）圆的对称性和旋转不变性

　　学生动手画圆，对折、观察得出：圆是轴对称图形和中心对称图形；圆的旋转不变性.

　　引出圆心角和弦心距的概念：

　　圆心角定义：顶点在圆心的角叫圆心角．

　　弦心距定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距．

　　（二）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

　　应用电脑动画（实验）观察，在同圆等圆中，圆心角变化时，圆心角所对应的弧、弦、弦心距之间的关系，得出定理的内容.这样既培养学生观察、比较、分析和归纳知识的能力，又可以充分调动学生的学习的积极性.

　　定理：在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．

　　（三）剖析定理得出推论

　　问题1：定理中去掉“在同圆或等圆中”这个前提，否则也不一定有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论.（学生分小组讨论、交流）

　　举出反例：如图，∠AOB=∠COD，但AB CD， .（强化对定理的理解，培养学生的思维批判性.）

　　问题2、在同圆等圆中，若圆心角所对的弧相等，将又怎样呢？（学生分小组讨论、交流，老师与学生交流对话），归纳出推论.

　　推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．（推论包含了定理，它是定理的拓展）

　　（四）应用、巩固和反思

　　 例1、如图，点O是∠EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D，求证：AB=CD.

　　解（略，教材87页）

　　例题拓展：当P点在圆上或圆内是否还有AB=CD呢？

　　（让学生自主思考，并使图形运动起来，让学生在运动中学习和研究几何问题）

　　练习：（教材88页练习）

　　 1、已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空：    ．

　　（1）如果AB＝CD，那么______，______，______；

　　（2）如果OE＝OG，那么______，______，______；

　　（3）如果 = ，那么______，______，______；

　　（4）如果∠AOB＝∠COD，那么______，______，______．

　　（目的：巩固基础知识）

　　2、（教材88页练习3题，略．定理的简单应用）

　　（五）小结：学生自己归纳，老师指导．

　　知识：①圆的对称性和旋转不变性；②圆心角、弧、弦、弦心距之间关系，它反映出在圆中相等量的灵活转换．

　　能力和方法：①增加了证明角相等、线段相等以及弧相等的新方法；②实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力．

　　（六）作业：教材P99中1（1）、2、3．

第二课时 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（二）

　　教学目标：

　　（1）理解1° 弧的概念，能熟练地应用本节知识进行有关计算；

　　（2）进一步培养学生自学能力，应用能力和计算能力；

　　（3）通过例题向学生渗透数形结合能力．

　　教学重点、难点：

　　重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系的应用．

　　难点：理解1° 弧的概念．

　　教学活动设计：

　　（一）阅读理解

　　学生独立阅读P89中，1°的弧的概念，使学生从感性的认识到理性的认识．

　　理解：

　　（1）把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角．

　　（2）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧．

　　（3）圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．

　　（二）概念巩固

　　1、判断题：

　　（1）等弧的度数相等（ ）；

　　（2）圆心角相等所对应的弧相等（ ）；

　　（3）两条弧的长度相等，则这两条弧所对应的圆心角相等（ ）

　　2、解得题：

　　（1）度数是5°的圆心角所对的弧的度数是多少?为什么?

　　（2）5°的圆心角对着多少度的弧？ 5°的弧对着多少度的圆心角?

　　（3）n°的圆心角对着多少度的弧?  n°的弧对着多少度的圆心角?

　　（三）疑难解得

　　对于①弧相等；②弧的长度相等；③弧的度数相等；④圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．学生在学习中有疑难的老师要及时解得．

　　特别是对于“圆心角的度数和它们对的弧的度数相等”，一定让学生弄清楚这里说的相等指的是“角与弧的度数”相等，而不是“角与弧”相等，因为角与弧是两个不同的概念，不能比较和度量．

　　（四）应用、归纳、反思

　　 例1、如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的 ，圆的半径为2cm，求AB的长．

　　学生自主分析，写出解题过程，交流指导．

　　解：（参看教材P89）

　　注意：学生往往重视计算结果，而忽略推理和解题步骤的严密性，教师要特别关注和指导．

　　反思：向学生渗透数形结合的重要的数学思想．所谓数形结合思想就是数与形互相转化，图形带有直观性，数则有精确性，两者有机地结合起来才能较好地完成这个例题．

　　例2、如图，已知AB和CD是⊙O的两条直径，弦CE∥AB， =40°，求∠BOD的度数．

　　题目从“分析——解得”让学生积极主动进行，此时教师只需强调解题要规范，书写要准确即可．

　　（解答参考教材P90）

　　题目拓展：

　　1、已知：如上图，已知AB和CD是⊙O的两条直径，弦CE∥AB，求证： ＝ ．

　　2、已知：如上图，已知AB和CD是⊙O的两条直径，弦 ＝ ，求证：CE∥AB．

　　目的：是培养学生发散思维能力，由学生自己分析证明思路，引导学生思考出不同的方法，最后交流、概括、归纳方法．

　　（五）小节（略）

　　（六）作业：教材P100中4、5题．

探究活动

　　 我们已经研究过：已知点O是∠BPD的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D，则AB=CD ；现在，若⊙O与∠EPF的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D，请你结合图形，添加一个适当的条件，使OP为∠BPD的平分线.

　　解（略）

　　①AB=CD；

　　② = ．（等等）

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系