不等式的性质（三）

探究活动

 

能得到什么结论

题目 已知 且 ，你能够推出什么结论？

　　分析与解：由条件推出结论，我们可以考虑把已知条件的变量范围扩大，对已知变量作运算，运用不等式的性质，或者跳出不等式去考虑一般的数学表达式。

思路一：改变 的范围，可得：

　　1． 且 ；

　　2． 且 ；

思路二：由已知变量作运算，可得：

　　3． 且 ；

　　4． 且 ；

　　5． 且 ；

　　6． 且 ；

　　7． 且 ；

思路三：考虑含有 的数学表达式具有的性质，可得：

　　8． （其中 为实常数）是三次方程；

　　9． （其中 为常数）的图象不可能表示直线。

　　说明 从已知信息能够推出什么结论？这是我们经常需要思考的问题，这里给出的都是必要非充分条件，读者可以考虑是否能够写出充要条件；另外，运用推出关系的传递性，在推出结论的基础上进一步进行推理，还可得出很多结果，请读者考虑．

 

探究关系式是否成立的问题

题目  当 成立时，关系式 是否成立？若成立，加以证明；若不成立，说明理由。

　　解：因为 ，所以 ，所以 ，

　　所以 ，

　　所以 或

　　所以 或

　　所以 或

　　所以 不可能成立。

　　说明：像本例这样的探索题，题目的结论是“两可”（即两种可能性）情形，而我们知道，说明结论不成立可像例1那样举一个反例就可以了。不过像本例的执果索因的分析，不仅说明结论不成立，而且得出 ， 必须同时大于1或同时小于1的结论。

 

探讨增加什么条件使命题成立

例 适当增加条件，使下列命题各命题成立：

　　（1）若 ，则 ；

　　（2）若 ，则 ；

　　（3）若 ， ，则 ；

　　（4）若 ，则

思路分析：本例为条件型开放题，需要依据不等式的性质，寻找使结论成立时所缺少的一个条件。

解：（1）

（2） 。当 时，

　　当 时，

（3）

　　　

（4）

　　

引申发散　对命题（3），能否增加条件 ，或 ， ，使其成立？请阐述你的理由。

不等式的性质（三）